Images Encryption Algorithm Using the Lorenz’s Chaotic Attractor

Algoritmo de Encriptación de Imágenes Utilizando el Atractor Caótico de Lorenz

Hugo Ernesto Gutierrez Vanegas
TIVIT. Bogotá D.C. - Colombia, hugoegutierrezv@gmail.com

Miguel Alberto Melgarejo Rey
Universidad Distrital Francisco José de Caldas, LAMIC. Bogotá D.C. - Colombia, mmelgarejo@udistrital.edu.co

Recibido: 30/01/2017. Modificado: 17/06/2017. Aceptado: 31/07/2017.

Abstract

Context: With the increasing volumes of information generated in real time, novel mechanisms area needed to ensure security so as to prevent access to unauthorized people. The conventional encryption methods are not appropriate for images, because they are prone to statistical attacks due to the strong correlation between adjacent pixels and the analysis of color gamut histograms, which can help to identify them within the image; with this aim in mind, in this paper an algorithm for image encryption using chaotic attractors is proposed.

Method: Chaotic synchronization is used for the key management, the diffusion stage is made by means of ergodic sequences generated from the numerical solution of the Lorenz’s attractor and the permutation stage is accomplished with the wave line technique.

Results: The proposed algorithm was tested using a set of gray-scale images obtaining suitable performance in segurity and speed, the pixel correlation is almost null and the entropy is similar to that presented in recent works with the same approach

Conclusions: Chaotic methods are an alternative to improve the security levels in the cryptography of images due to their properties of unpredictability and sensitivity to the initial conditions. For future work the approach presented could be applied to the encryption of color images and using different chaotic attractors.

Keywords:Synchronization, chaos, images cryptography, Lorenz’s attractor..

Language: Spanish

Resumen

Contexto: Con el creciente volumen de información generada en tiempo real, nuevos mecanismos son necesarios para garantizar su seguridad, evitando el acceso a personas no autorizadas. Los métodos convencionales de criptografía no son apropiados para imágenes por su debilidad a ataques estadísticos, debido a la fuerte correlación entre píxeles adyacentes y el análisis de los histogramas de gamas de colores, lo que puede ayudar a identificarlos dentro de la imagen; con este objetivo en mente, se propone un algoritmo para el cifrado de imágenes utilizando atractores caóticos.

Método: La sincronización caótica se utiliza para la gestión de la clave, la etapa de difusión se realiza mediante secuencias ergódicas generadas a partir de la solución numérica del atractor de Lorenz y la etapa de permutación se realiza con la técnica de línea de onda.

Resultados: Se probó el algoritmo propuesto utilizando un conjunto de imágenes en escala de grises, obteniendo un desempeño adecuado en seguridad y velocidad, la correlación de píxeles es casi nula y la entropía es similar a la presentada en trabajos recientes con el mismo enfoque.

Conclusiones: Los métodos caóticos son una buena alternativa para mejorar los niveles de seguridad en la criptografía de imágenes debido a sus propiedades de imprevisibilidad y sensibilidad a las condiciones iniciales. Para trabajos futuros el enfoque presentado podría aplicarse a la encriptación de imágenes a color y utilizando diferentes atractores caóticos.

Palabras clave: Atractor de Lorenz, Caos, Criptografía de imágenes, Sincronización.

Idioma: Español

1. Introduction

La transferencia de información de manera segura es una prioridad que exige el interés de las comunidades académicas interesadas en el área de la criptografía para explorar, diseñar y proponer esquemas de seguridad eficientes. Desde hace décadas existen diferentes técnicas de cifrado que se basan principalmente en métodos iterativos y en la factorización de números primos. La seguridad de estos métodos se encuentra soportada en que no existen procedimientos computacionalmente eficientes para factorizar números de gran cantidad de dígitos; particularmente se dificulta la factorización cuando el número a factorizar es el producto de dos números primos de aproximadamente la misma cantidad de dígitos. Sin embargo, con el desarrollo acelerado de la computación es posible que pronto puedan ser vulnerables este tipo de criptosistemas [1].

Motivados por esta posible vulnerabilidad, una alternativa para encriptar imágenes es utilizar los sistemas dinámicos que generan caos, ya que las propiedades de dependencia sensitiva a las condiciones iniciales, mezcla y ergodicidad se pueden aprovechar para garantizar la no predictibilidad de los mecanismos de seguridad.

Por lo general, en los esquemas de comunicación caótica que utilizan sincronización se toma un sistema caótico como transmisor y la señal de información se mezcla con el transmisor para generar una señal de transmisión caótica, la cual se transmite al receptor. El mecanismo receptor es básicamente un sistema dinámico caótico construido sobre la base de la estructura del transmisor. Cuando los mecanismos transmisor y receptor se sincronizan la información es recuperada por el receptor [2]. Recientemente, se han publicado diferentes propuestas que utilizan este enfoque, algunas de las cuales se analizan a continuación.

En [3] se propone un esquema de encriptación de imágenes, utilizando la función cat de Arnold para el proceso de permutación y un sistema hipercaótico de Lorenz para el proceso de difusión. Los autores hacen un análisis Marco teórico estadístico de seguridad que involucra la longitud y la sensibilidad de la clave, lo cual les permite asegurar el buen nivel de seguridad de su propuesta. Además, en el artículo se resalta el potencial de los sistemas hipercaótico para mejorar la seguridad de los criptosistemas basados en caos; porque comparándolos con sistemas caóticos de un número menor de dimensiones tienen un comportamiento dinámico más complejo y manejan un mayor número de variables. Lo anterior permite inferir que los criptosistemas basados en sistemas hipercaóticos son más impredecibles y con un espacio de claves más amplio.

En el año 2013 se desarrolló un sistema de encriptación simétrica para imágenes basado en caos, utilizando para el proceso de difusión el atractor caótico de Lorenz y para el proceso de permutación la función del panadero. Los autores hacen un análisis estadístico del desempeño de seguridad del algoritmo propuesto, mostrando una alta seguridad en su esquema [4].

En [5] se presenta un algoritmo de encriptación de imágenes utilizando el sistema caótico provisto por la función tienda para los procesos de difusión y permutación. Al analizar los histogramas de escala de grises de las imágenes real y cifrada, la distribución uniforme que presenta el histograma de la imagen cifrada permite garantizar una buena seguridad del algoritmo. Además, mediante el cálculo de los coeficientes de correlación entre píxeles adyacentes, se evidencia que estos tienden a 1, para los píxeles de la imagen original y a 0 para los píxeles correspondientes a la imagen cifra- da; lo anterior significa que se logra eliminar la correlación entre los pixeles adyacentes durante el proceso de cifrado.

En [6] se propone un esquema de encriptación de imágenes en escala de grises y a color de tipo simétrico utilizando los atractores caóticos provistos por el sistema autónomo de Colpitts y el sistema no autónomo de Duffing, los cuales son resueltos por medio del método numérico para la solución de ecuaciones diferenciales Runge Kutta 4 y aprovechados para generar una matriz del tamaño de la imagen original. Por medio de esta matriz, se cifra cada uno de los píxeles de la imagen original; la clave secreta está construida por los valores de las condiciones iniciales de los dos sistemas utilizados. Los autores realizan análisis de espacio de clave, análisis de sensibilidad de la clave e histograma de la imagen cifrada; el espacio de clave utilizado es 2448 = 7,26*1013 y el histograma de escala de grises de la imagen cifrada presenta una distribución uniforme. También hacen un análisis de correlación entre los coeficientes de pixeles adyacentes en las direcciones horizontal, vertical y diagonal para varias imágenes encriptadas encontrando que estos tienden a cero. Los resultados experimentales muestran la robustez, eficiencia y el buen nivel de seguridad del algoritmo.

En el trabajo desarrollado en [7], se presenta un algoritmo que fusiona un atractor caótico provisto por una función senoidal con algunos principios de la codificación genética. Los autores indican que, si utilizan únicamente el atractor caótico, el algoritmo es sencillo pero débil en seguridad y genera distorsión de la imagen. Separan la imagen en tres capas de color: verde, azul y roja; utilizando los principios del caos y de la genética, codifican cada capa de manera independiente en base decimal, base binaria y en código ADN (código generado a partir de principios de la genética), obteniendo tres matrices, una por cada color, que luego adicionan según las reglas del código ADN con tres matrices que generan de aplicar la función caótica senoidal sobre las matrices anteriores, Como se ejecutan tres procesos independientes utilizan programación paralela para reducir el tiempo de ejecución. El algoritmo permite obtener una imagen cifrada con muy baja correlación entre píxeles adyacentes y demuestra ser eficiente para la encriptación de archivos de gran volumen debido al uso de la programación paralela.

En el año 2015 en [8], los autores diseñan un esquema de codificación de imágenes en escala de grises basado en un proceso de permutación vertical y horizontal en forma circular utilizando la función de Arnold con parámetros positivos e implementan la función hash SHA-3 para el proceso de difusión. Realizan un análisis de sensibilidad aplicado a las claves, un análisis estadístico y análisis de aleatoriedad mediante el test NIST 800-22. Concluyen que el algoritmo tiene un buen rendimiento en procesamiento y una capacidad de resistir a ataques como el ataque de texto elegido.

En [9] los autores proponen un método adaptable de sincronización acoplando tres sistemas caóticos idénticos y muestran mediante dos ejemplos que el acoplamiento puede ser unidireccional o bidireccional. Para mostrar la sincronización con acoplamiento unidireccional consideran tres sistemas caóticos de Rössler y utilizan tres sistemas caóticos de Lorenz para mostrar la sincronización con acoplamiento bidireccional. Basados en esta nueva forma de sincronización proponen un método de encriptación caótica diferente a los criptosistemas tradicionales; empleando tres sistemas caóticos para el proceso de la sincronización y encriptación, utilizando dos sistemas caóticos emisores que se encargan de la encriptación y el tercer sistema caótico como receptor para desencriptar; la idea básica que sustentan es que después de cifrar dos veces en dos transmisores y un receptor, el receptor puede recuperar de manera fidedigna la señal enviada.

En [10] se presenta una alternativa para resolver una vulnerabilidad existente en los sistemas de enmascaramiento caóticos mediante el proceso de sincronización de atractores caóticos. El sistema evita la detección de parámetros utilizando dos claves de cifrado que se emplean para la modificación continua de las condiciones iniciales del atractor de Rössler. El autor destaca su técnica mostrando resistencia a ataques estadísticos y evitando que el atacante obtenga los valores iniciales de los atractores.

En el trabajo propuesto en [11], se utiliza el sistema de Lorenz hipercaótico de orden fraccional, que es un sistema que maneja cuatro componentes , empleando una de estas para generar una máscara caótica, del tamaño de la imagen que se desea cifrar, la cual utilizan para enmascarar la imagen mediante la operación OR, entre cada uno de los valores de las posiciones de la máscara y de la imagen; las demás componentes las utilizan para generar una sucesión caótica, que permite reordenar la matriz difundida y finalmente obtener la imagen cifrada, como resultados destacan la simpleza del procedimiento de enmascaramiento, también la mejora del desempeño en cuanto a seguridad.

En [12] se propone una técnica de cifrado de imágenes, en escala de grises, basada en un sistema caótico múltiple que es el resultado de la suma de los sistemas caóticos de Rössler y Lorenz. El esquema de encriptación propuesto consiste en un algoritmo iterativo que mezcla los valores de los píxeles mediante operaciones XOR y cambia los valores de la escala de grises usando el sistema caótico múltiple. Mediante los resultados de las pruebas se puede apreciar que las bondades de esta propuesta son: buen nivel de seguridad, gran espacio de clave y un algoritmo con alta velocidad de ejecución.

En el presente artículo se propone el desarrollo de un algoritmo de encriptación de imágenes en escala de grises aprovechando las características de sincronización del sistema caótico de Lorenz. El artículo está organizado de la siguiente forma: en la sección 2, se presentan los fundamentos teóricos sobre sistemas caóticos y la sincronización de estos. En la sección 3, se describe y se implementa el algoritmo propuesto que involucra los procesos de sincronización, permutación y difusión utilizando el atractor caótico de Lorenz y se presentan las pruebas realizadas con diferentes imágenes clásicas. En la sección 4, se hace el análisis estadístico de desempeño y se compara con los algoritmos propuestos en [5] y [8]. Finalmente, se resaltan las conclusiones y se dan algunas indicaciones para trabajos futuros en esta misma dirección.

2. Marco Teórico

El área de los sistemas dinámicos surge del intento de estudiar el comportamiento de un sistema que evoluciona en el tiempo, tiene aplicación en diferentes campos del conocimiento tales como biología, medicina e ingeniería. Los sistemas dinámicos de tipo no lineal son los que pue- den presentan comportamientos complejos, lo cual los hace atractivos para utilizarlos en sistemas criptográficos, buscando aumentar su seguridad. La seguridad de la información secreta que se transmita a través de la red es algo imperante en la actualidad, ya que se debe impedir que personas no autorizadas modifiquen o accedan a la información. Se han propuesto varios trabajos en este sentido, inicialmente utilizando sistemas dinámicos caóticos unidimensionales, los cuales posibilitan generar algoritmos sencillos pero un poco lentos y débiles contra ataques, situación que ha hecho fortalecer la línea de trabajo mediante el uso de sistemas dinámicos de más de una dimensión [13]

2.1. Sistema caótico de Lorenz

La teoría del caos surge con el estudio de los sistemas dinámicos de tipo no lineal que se modelan por medio de ecuaciones diferenciales en el caso continuo y ecuaciones en diferencias finitas en el caso discreto; es de gran utilidad tanto a nivel de la matemática como en el ámbito de las aplicaciones a otra áreas del conocimiento, ya que generalmente son impredecibles, presentan una dependencia sensible a las condiciones iniciales, es decir, que para dos condiciones iniciales próximas, se genera un comportamiento dinámico totalmente diferente. Además, suelen presentar atractores extraños que involucran propiedades de auto similitud, generando imágenes con naturaleza fractal, lo cual permite obtener técnicas para disminuir la correlación entre los pixeles adyacentes en el cifrado de imágenes [14].

Una de las razones que dio origen al estudio cualitativo de los sistemas dinámicos tiene que ver con el problema de Lorenz, quien formulo´ un modelo tridimensional para realizar predicciones climáticas, y se dio cuenta que si este se alimentaba de la observación anterior aplicando un pro- ceso de redondeo de cifras, aunque inicialmente se comportaba de forma similar, rápidamente se empezaban a trazar trayectorias totalmente diferentes a las generadas sin aplicar ningún redondeo, lo que mostraba resultados erróneos en el momento de hacer predicciones.

En la literatura matemática se han mostrado y caracterizado varios sistemas dinámicos caóticos. En la ecuación (1) se describe el modelo formulado por Lorenz:

Donde, (x, y, z) describen una condición atmosférica, σ, b y r, son parámetros. Este sistema describe un comportamiento caótico para varios valores de los parámetros, los más utilizados han sido σ = 10, b = 8/3 y r = 28.

2.2. Sincronización

Consiste en enlazar dos sistemas caóticos mediante una o varias señales comunes para obligar a que sus trayectorias a largo plazo converjan a los mismos valores. El tipo de sincronización que se utiliza en este trabajo es unidireccional, propuesto por Pecora y Carrol [2], que consiste en dividir el sistema caótico en dos subsistemas denominados maestro y esclavo, el maestro conduce al sistema esclavo a seguir su trayectoria. Una de las condiciones para que se presente este tipo de sincronización es que los exponentes de Lyapunov de los subsistemas a sincronizar sean negativos, este hecho provee la estabilidad en el sistema esclavo. Una de las razones por las cuales se utiliza la sincronización para la seguridad de la información que se transmite en la red es la facilidad que ofrece para cifrar y descifrar la información, cuyo cifrado se basa en el comportamiento impredecible de los sistemas caóticos. Para el caso de estudio alusivo al sistema de Lorenz con los parámetros anteriormente mencionados, Pecora y Carrol calcularon los exponentes de Lyapunov encontrando que estos son negativos cuando se seleccionan como maestro las componentes x o y, como se muestra en la Tabla I.

Se puede verificar que cuando se elige x o y como variable sincronizante los dos subsistemas se sincronizan, como se muestra en la Figura 1, siendo la línea negra la trayectoria del subsistema esclavo y la línea azul la trayectoria del subsistema maestro.

El mecanismo de sincronización en el algoritmo que se propone se utiliza para encriptar la clave que se envía al receptor, considerando el sistema caótico de Lorenz y dos subsistemas de este y utilizando “y” como variable sincronizante, a través de la cual se envía la clave que permitirá desencriptar la imagen [15].

3. Esquema de encriptación propuesto

Se presenta un algoritmo para encriptación de imágenes en escala de grises, de tamaño M X N píxeles. El proceso de permutación se realiza mediante la permutación de línea de onda y para el proceso de difusión se utilizan sucesiones ergódicas generadas a partir de la solución numérica del atractor caótico de Lorenz, utilizando el método Runge Kutta 4. El diagrama de flujo del algoritmo se presenta en la Figura 2.

Las fases del proceso de encriptación comprenden los siguientes pasos:

1. El atractor de Lorenz se divide en dos subsistemas maestro y esclavo, utilizando como variable sincronizante ”y”, debido a que sus exponentes de Lyapunov son los más negativos, recordando que entre más negativos sean estos, más rápida será´ la convergencia.
2. Se inicializan los subsistemas con condiciones iniciales aleatorias que estén cercanas a la región del atractor.
3. Se sincronizan los atractores enviando la componente maestra hacia el esclavo. Se generan los 700 primeros valores del atractor maestro utilizando Runge Kutta 4 con un incremento de tiempo h = 0,01 (centésimas de segundo) y se env´ıan los resultados de la componente “y” como clave pública K hacia el atractor esclavo en el instante de tiempo t_i, como se indica en la ecuación (2).

   

   Donde y_i corresponde a la salida del atractor en valor absoluto, considerando solamente una cifra decimal multiplicada por 10 en el instante de tiempo t_j definido por la ecuación (3).

   

   Se debe actualizar t_i a t_j, debido a que cada vez que se codifica un mensaje, existe un corrimiento de (M + N ) h unidades de tiempo, con el fin de no perder la sincronía entre los subsistemas maestros y esclavo, como se muestra en la ecuación (4).

   

4. Se utiliza el proceso de permutación de línea de onda [16], primero se construyen dos sucesiones (x_j) y (z_i), i = 1, . . . , N , y j = 1, . . . M , a partir de los valores obtenidos para las variables x, z del atractor, mediante método numérico Runge Kutta 4; se consideran los últimos tres dígitos de dichos valores y se utiliza una matriz de M X N que tiene en cada una de sus posiciones los valores en escala de gris de la imagen original. El valor x_j se asocia con la columna j de la matriz, e indica el número de posiciones que se deben desplazar las entradas de esa columna “verticalmente”, consiguiendo una nueva matriz, luego, la fila i de esta última matriz se asocia con el valor z_i el cual indica las posiciones que se deben desplazar sus entradas “horizontalmente”, obteniéndose otra matriz y finalizando un ciclo de permutación. El desplazamiento horizontal de las entradas de la fila i es hacia la derecha si z_i es menor que el umbral (M/2) y el desplazamiento vertical de las entradas de la columna j es hacia abajo si x_j es menor que N/2. El proceso anterior se ejecuta cuatro veces para completar la fase de permutación que se conoce como permutación circular [8], obteniendo la matriz permutada P.
5. Con los datos obtenidos por Runge Kutta 4, para los componentes z y x del atractor, se genera una matriz de A de tamaño M X N, considerando los valores numéricos obtenidos de los últimos tres dígitos, la cual se suma con la matriz obtenida en el ítem 4, luego se aplica la operación módulo 256 a cada entrada de la matriz resultante, como se ilustra en la Figuras 3, 4 y 5.

   Siendo P (k, i) el valor que va de 0 a 256 en la posición (k, i) de la matriz que resulta del proceso completo de permutación de línea de onda, las matrices D1 , D2 ,D3 se obtienen de acuerdo con las ecuaciones (5),(6) y (7).

   

   Con i = 1, 2, . . . , N ; l = 1, 2, . . . , floor ( M/L ); k = 1, 2, . . . , ceil ( M/K ), donde floor( M/L) representa el mayor número entero menor o igual que el número racional M/L y ceil( M/L ) representa el menor número entero mayor o igual que el número racional M.

   Como primer paso se toma una parte de la matriz A, de tamaño ceil( M/L )XN y también una parte de la matriz permutada P de tamaño ceil( M/2 )×N, asociando, como se ve en la Figura 1, los colores con la posición en la que los valores de ambas matrices se operan, como se muestra en la en la ecuación (1), generando la matriz D₁.

   

   Para el segundo paso se toma la matriz D₁ y una segunda parte de la matriz A de tamaño ceil( M/L ) X N , asociando, como se ve en la Figura 2, los colores con la posición de los valores de ambas matrices, describiendo la forma en que operará la difusión representada en la ecuación (2), generando la matriz D₂.

   En el tercer paso, se utiliza una parte de la matriz D₂ de tamaño floor( M/L ) X N , y una segunda parte de la matriz permutada P de tamaño floor( M/L ) X N , cuyo proceso se ilustra en la Figura 3, de manera similar al paso anterior la Figura 3 asocia los colores con la posición de los valores a los que se les se aplicará la difusión descrita en la ecuación (3), generando la matriz D₃.

   Por último, se concatenan las matrices D₂ y D₃, es decir todas las filas de la matriz D₂ se unen a las filas de la matriz D₃ en su respectivo orden, dejando una única matriz C correspondiente a la imagen cifrada.

   

   El proceso descrito anteriormente mejora la aleatoriedad de la imagen cifrada C, es decir, si todos los colores en escala de grises en la imagen cifrada C tienden repetirse un número igual o cercano a (M X N )/256 veces el grado de incertidumbre aumenta y por ende la impredecibilidad de la imagen cifrada.

   En el desarrollo del esquema de encriptación se tuvo en cuenta la relación existente entre los procesos de permutación y difusión; por ejemplo, el proceso de difusión descrito en [5] des- taca por su simpleza, pero su proceso de permutación es más complejo, lo cual exige mayores recursos computacionales, pero ofrece resultados interesantes en cuanto a la aleatoriedad en su cifrado; en [8] el proceso de difusión utiliza más recursos y el de permutación en este caso es el proceso sencillo, sin embargo tiene menor aleatoriedad en las imágenes cifradas que en [5]; por lo tanto tener un buen desarrollo en la permutación contribuye en gran medida al proceso de difusión para aumentar la aleatoriedad de las imágenes cifradas, razón por la cual en este trabajo se realizan más rondas de permutación que en [8], adicionalmente se buscó un mejor desarrollo en la fase de difusión sin utilizar demasiados recursos en ambas fases.

   La adición de una permutación simple que se le aplica a la matriz A, utilizada para difundir, permite a la imagen cifrada C no poseer patrones reconocibles, como grupos de píxeles cercanos con colores que tengan similar valor o valores con diferencias muy grandes. Similar estrategia se puede evidenciar en [8] con la matriz utilizada para difundir, la cual se construye con valores que se obtienen iterando el mapa de Arnold, consiguiendo completar la matriz en (M×N )/2 iteraciones si M × N es par o ceil((M×N)/2 ) iteraciones si M × N es impar, tomando dichos valores de las componentes del sistema de Arnold e intercalándolos en la matriz, teniendo efectividad en disolver patrones reconocibles en la imagen cifrada ; en [11], la estrategia es más simple ya que utilizan M X N iteraciones para generar una matriz, solo con los valores de una única componente del sistema caótico, que permite difundir mediante la operación OR, resultando en un desempeño menor a [8]; en [12] el proceso es más complejo que en [11] para la generación de la matriz, aquí utilizan una matriz de M X N que repetidas veces se opera con la matriz que representa a la imagen original mediante la operación XOR hasta conseguir la imagen cifrada, resultando en un buen desempeño.

   Hay que destacar la importancia de realizar tratamiento a la matriz A, por su implicación en la reducción de patrones, es decir , lo que se busca en esta matriz es que sea lo suficientemente aleatoria; por ejemplo, en [5] optan por evitar tomar algunos de valores generados por el sistema caótico para obtener dichas matrices, en otros casos como en [8], [11] y [12], iteran muchas veces para obtener dichos valores, esto quiere decir que utilizan bastantes recursos para mejorar la aleatoriedad de la matriz y del sistema en general; en el esquema propuesto no se requieren muchas iteraciones, ya que particularmente el sistema de Lorenz es suficientemente aleatorio; en este caso se utilizan M + N valores para generar la matriz A y se realizan M iteraciones, una ventaja, ya que si existiesen aproximaciones y un número alto de iteraciones, la degradación dinámica puede dañar el comportamiento caótico del sistema.

   Para el proceso de desencriptación se aplican los pasos 4 y 5 en forma inversa.

   Para verificar la funcionalidad del algoritmo se realizaron varias pruebas con diferentes imágenes, tomadas de las referencias consultadas, algunas de estas se muestran en las Figuras 6,7,8 y 9.

   

   

   En las Figuras 6,7,8 y 9 se evidencia el buen funcionamiento del algoritmo para encriptar y desencriptar imágenes; las imágenes decodificadas son iguales a las originales.

4. Resultados

Se presenta aquí los resultados del estudio comparativo de clasificación de avance de proyectos mediante ANN y SVM en los escenarios generados a partir de la base de datos.

4. Análisis estadístico

Para evaluar el desempeño del algoritmo propuesto se analizó la correlación entre los pixeles adyacentes en forma horizontal, vertical y diagonal, tanto para la imagen original como para la cifrada, obteniendo que la correlación tiende a desaparecer en la encriptación, como se muestra en las las Figuras 10, 11,12 y 13

A continuación, se presenta el análisis de sensibilidad del proceso de encriptación frente al cambio de un único bit de la imagen original en las Figuras 14 y 15, y el cambio de un único bit en la condición inicial del sistema de Lorenz en la componente ”x”, es un numero de 15 dígitos entre 0 y 1; en las figuras Figuras 16 y 17, evidenciando una imagen cifrada totalmente diferente.

En las Figuras 18, 19, 20 y 21 se muestran los histogramas de la distribución de la escala de grises en la imagen original comparada con la imagen cifrada encontrando uniformidad en la imagen cifrada; donde se pueden resaltar las distribuciones uniformes presentes en los histogramas de las imágenes cifradas.

Para las cuatro imágenes presentadas se hallaron los coeficientes de correlación agrupados en la Tabla II, las medidas que evalúan la resistencia a ataques diferenciales UACI (promedio unificado de intensidad de cambio, sus siglas en ingles) y NPCR (razón de cambio de pixeles, sus siglas en inglés), además de la entropía correspondiente, los cuales se presentan en las TablaS III y IV. La expresión matemática para UACI esta´ dada por la ecuación (9).

Siendo M X N el tamaño de la imagen, E1(i,j) el valor del pixel en la posición del (i, j) de la imagen cifrada E1 y E2(i,j) el valor del pixel en la posición del (i, j) de la imagen cifrada E2, donde la imagen E1 corresponde al cifrado de la imagen original sin modificaciones y E2 corresponde al cifrado de la imagen original modificada en un pixel o también en la modificación de un bit en la condición inicial y 2n es el valor máximo que puede tomar cada pixel.

La fórmula que define NPCR esta´ dada en la ecuación (10).

Siendo, p0 la probabilidad de que un pixel (i, j) en la imagen cifrada C1 , sea igual al pixel (i, j) en la imagen C2 y p1 la probabilidad de que un pixel en la imagen cifrada C1(i, j), sea diferente al pixel (i, j) de la imagen cifrada C2, es decir son las probabilidades de obtener 0 o 1, respectivamente en la distribución de probabilidad D(i, j).

El valor de la entropía es un indicador muy importante, ya que muestra el nivel de aleatoriedad de los pixeles en las imágenes cifradas, lo cual significa que entre mayor sea el valor de la entropía la aleatoriedad es mejor. Para las imagines en estudio se logró obtener valores muy próximos a 8 calculado por:

donde N es la cantidad de símbolos, en este caso la cantidad de valores en escala de grises y P(si) la probabilidad de ocurrencia del símbolo si , si la probabilidad de ocurrencia de todos los símbolos es de 1/256 el valor de la entropía es de 8; luego este es el valor ideal de entropía en los procesos de encriptación de imagines cuando se trabaja con 256 tonalidades de grises.

El algoritmo propuesto se ejecutó´ en un equipo Intel(R) Core(TM) i5-2410M, 2.30GHz CPU; los resultados de su desempeño y la comparación con los resultados obtenidos en [5], [8] y [15] se resumen en las Tablas V y VI; como se puede ver el algoritmo propuesto presenta desempeños muy similares a los presentados en las referencias consideradas en los indicadores UACI, NPCR y la entropía, logra mejores coeficientes de correlación entre píxeles adyacentes y un buen desempeño en velocidad de ejecución. Sin embargo en cuanto a indicadores como el UACI y NPCR es difícil saber cuál trabajo es más seguro, si bien se busca que el NPCR tienda a 100 %, es decir, que no exista ningún pixel con el mismo valor en la misma posición para dos imagines cifradas, es más difícil acercarse a dicho valor ideal a medida que las imágenes son más grandes; para el UACI que evalúa que tan diferente son dos imágenes cifradas, no es lógico pensar que este valor tenga que ser muy grande ya que se perdería desempeño en la entropía, o que sea muy pequeño puesto que las imágenes cifradas no serían lo suficientemente diferentes la una de la otra.

En la Tablas V, en los coeficientes de correlación, se puede observar que la referencia [8] presenta un mejor desempeño que la referencia [5], ya que a pesar de presentar correlaciones positivas mayores en las imágenes originales logra menores valores de correlaciones vertical y horizontal de las imágenes cifradas. La razón del mejor desempeño de la referencia [8] se puede atribuir a su buen proceso de permutación, tener un proceso de difusión iterativo e incorporar mayor aleatoriedad a la máscara que se utilizan para difundir la imagen permutada. En el caso de la entropía, la referencia [5] posee mejor desempeño que la [8], que segura- mente se debe al uso de un proceso de permutación más complejo, puesto que en [5] el trabajo para la obtención de las sucesiones caóticas es bastante exhaustivo.

En este trabajo se buscó equilibrio entre seguridad y velocidad de ejecución, es decir, lograr un algoritmo con buen nivel de seguridad sin perder velocidad de ejecución.

6. Conclusiones