Un nuevo teorema geométrico y su aplicación en la construcción de conjeturas a través de un ambiente de geometría dinámica

Interés de la investigación

Esta investigación se enfoca en documentar el proceso de construcción y formalización de una conjetura geométrica. Su propósito es explicitar los elementos constitutivos y emergentes de este proceso, profundizando, destacando y fomentando la interacción entre el pensamiento geométrico y las herramientas tecnológicas. Lo anterior se hace resaltando la influencia positiva de la tecnología en el proceso cognitivo y creativo de los estudiantes y su aporte a la construcción de conjeturas en el ámbito geométrico.

Santos-Trigo (2023) reflexiona sobre la siguiente pregunta en ambientes de resolución de problemas:

¿Cómo influye el uso de herramientas digitales por parte de profesores y estudiantes en la forma en que razonan y resuelven problemas matemáticos?

Este planteamiento no solo ha llevado a repensar continuamente la conexión entre tecnología y mediación, sino también a las siguientes preguntas:

¿Cómo se enseña a construir una conjetura?

¿Qué elementos debe tener un profesor de matemáticas para enseñar a construir conjeturas?

¿Cuáles son los beneficios y desafíos de utilizar entornos computacionales en la construcción de conjeturas?

¿Qué procesos cognitivos subyacen a la actividad geométrica cuando es promovida por un DGE?

Esta investigación posibilita, desde la didáctica de las matemáticas, una mirada integral a la construcción de conjeturas geométricas, resaltando la importancia de la mediación instrumental, la demostración y los procesos cognitivos relacionados con dicho proceso.

La geometría dinámica como instrumento de aprendizaje

Es importante distinguir entre herramienta e instrumento. Una herramienta está diseñada para un uso específico de trabajo y, desde una perspectiva metacognitiva, una herramienta “no modifica, sino que complementa el pensamiento del estudiante” (Moreno Armella, 2002, p. 85). Entretanto, un instrumento es una herramienta cuyo uso sostenido desarrolla funciones diferentes a las inicialmente diseñadas y contribuye en la generación de cambios de estrategias de solución de problemas y de resignificación en el planteamiento de los mismos. En otras palabras, es el sujeto o usuario del DGE quien adapta la herramienta a sí mismo.

En consonancia con lo anterior, el uso de una herramienta facilita la amplificación de lo que inicialmente podría pasar desapercibido. Al igual que una lupa, esta herramienta permite examinar en detalle lo que se observa a una escala diferente. Por otro lado, el instrumento propicia una reorganización cognitiva, i.e., permite percibir lo que sería imposible sin la ayuda de la herramienta, evocando la imagen de un microscopio, que brinda acceso a un nivel de realidad más profundo y a un conocimiento más amplio (Moreno Armella, 2002).

La geometría dinámica emergente de los entornos computacionales brinda al usuario una realidad matemática en la que los conceptos y construcciones abstractos pueden cosificarse visualmente (Baccaglini-Frank & Mariotti, 2010; López-Real & Leung, 2006). En este sentido, los objetos geométricos se convierten en entidades que un solucionador puede observar y transformar figurativamente. Más aún, proporcionan dominios epistémicos, pues el movimiento, la variación y la retroalimentación visual pueden guiar la identificación de las propiedades geométricas de las figuras (Leung et al., 2013).

Los ambientes de geometría dinámica ayudan a crear situaciones de aprendizaje en las que los estudiantes pueden interactuar de múltiples maneras con las propiedades matemáticas de los objetos a través de representaciones semióticas ejecutables, más cómodamente que en el entorno del lápiz y el papel (Marrades & Gutiérrez, 2000).

El software GeoGebra, por ejemplo, se caracteriza por trabajar con sistemas matemáticos, en este caso un sistema geométrico conformado por objetos (puntos, rectas y polígonos), operaciones (construcciones con regla y compás), transformaciones isométricas en el plano y relaciones (paralelismo, pertenencia y perpendicularidad). También cuenta con una fenomenología propia, que emerge del ambiente dinámico. Los fenómenos que ocurren en la pantalla son el arrastre, el lugar geométrico y la animación, lo que permite ver el proceso de construcción de los objetos geométricos a través del movimiento.

El arrastre (dragging)

En un DGE, la acción que se logra al utilizar el ratón (mouse) del computador para mover un objeto del programa en diferentes direcciones y a diferentes lugares de la pantalla se conoce como arrastre o dragging. El arrastre permite conservar las relaciones geométricas implícitas en la configuración inicial. De esta manera, la naturaleza de las figuras que se hacen en un DGE dista de las de un dibujo hecho a lápiz y papel.

En los entornos de geometría dinámica coexisten dominios de tipo estructural, propios del software, y de tipo fenomenológico. En el primero de estos, un conjunto de objetos base (línea, punto) y las operaciones que se realizan sobre ellos permiten la operación formal del micro-mundo computacional. El segundo vincula los objetos y las operaciones con los fenómenos que se visualizan (e.g., el arrastre). Este último dominio permite una discriminación en relación con las acciones y decisiones que puede tomar un estudiante o un usuario durante el proceso de exploración del micro-mundo computacional.

El arrastre ha sido un elemento fundamental para las investigaciones interesadas en vincular la tecnología computacional a la clase de matemáticas, y se ha tipificado según su uso y objetivo de estudio. En la literatura (Arzarello et al., 2002; Baccaglini-Frank y Mariotti, 2010; Bonelo et al., 2022; López-Real & Leung, 2006) se ha clasificado el uso del arrastre en distintas modalidades, por ejemplo: errante, de mantenimiento, rastro activado y prueba de arrastre (Baccaglini-Frank & Mariotti, 2010).

El arrastre es considerado en la literatura como un instrumento cognitivo emergente del micro-mundo computacional que ofrecen los DGE y como una poderosa herramienta dinámica para la adquisición de conocimiento (López-Real & Leung, 2006), pues un usuario podría interactuar con las representaciones semióticas de los objetos matemáticos y así experimentar la realidad matemática virtual de las mismas.

Se ha podido configurar el uso del arrastre como un modelo que describe algunos procesos cognitivos que pueden ocurrir durante la producción de conjeturas en geometría dinámica y que parecen estar relacionados con modalidades de arrastre específicas (Baccaglini-Frank & Mariotti, 2010).

Macro-construcción

Por defecto, los DGE incluyen herramientas para proyectar en la pantalla nuevos objetos geométricos, generales o de acción. Particularmente en GeoGebra se permite la creación de herramientas propias, que posteriormente pueden emplearse como las del repertorio original e incluso establecerse como un comando más en la barra de entrada. A estas nuevas herramientas se les conoce con el nombre de macro-construcciónes, pues aluden a la ‘construcción de construcciones’ o a la programación de la construcción de un objeto (Benítez Mojica & Santos-Trigo, 2006).

Desde una construcción existente se pueden crear herramientas propias, y para ello hay que tener en cuenta las variables dependientes e independientes en la construcción de un objeto, i.e., los objetos de entrada y salida de la programación deseada.

La construcción de conjeturas en DGE

La construcción de conjeturas ha sido tratada desde distintas perspectivas en cuanto a contextos y tipología (Cañadas et al., 2008; Leung & Bolite-Frant, 2015). Algunos autores asumen la conjetura como una declaración aparentemente razonable, pero cuya verdad no se ha establecido, i.e., no se ha justificado de manera convincente. Por otra parte Mason et al. (2010) tratan de ubicar la conjetura en un estado no terminado en el paso inmediatamente anterior a la demostración. Esto, debido a que, después de lograr dicha demostración, el estado es terminado y la conjetura asume el papel de teorema. Baccaglini-Frank y Mariotti (2010) definen la conjetura como un enunciado condicional, dado que su construcción se da por una premisa que precede a una conclusión.

Construir una conjetura no es trivial, ya sea usando un software o la mente humana. Para ello se precisa un adecuado uso y una comprensión de la lógica matemática, como lo sugieren Samper et al. (2010). Por tanto, la conjeturación se convierte en una de las múltiples formas de aprender y enseñar matemáticas, pues en ella se vislumbran elementos del conjeturador que surgen en el camino a la conjetura, como lo son los procesos cognitivos, las formas argumentativas, los registros de representación, las estructuras y los elementos de control.

Por otra parte, se han realizado investigaciones sobre la producción y/o lo construcción de conjeturas en contextos específicos, como es el caso de la geometría dinámica (Arzarello et al., 1998; Baccaglini-Frank, 2019; Leung et al., 2013) y el de la resolución de problemas (Baccaglini-Frank, 2019; Benítez Mojica & Santos-Trigo, 2006; Miragliotta & Baccaglini-Frank, 2017).

Naturaleza y estrategia de la investigación

Esta es una investigación cualitativa en el ámbito de la educación matemática, fundamentada en los principios de la investigación basada en diseño, según lo propuesto por Cobb et al. (2017), de Benito Crosetti y Salinas Ibáñez (2016) y Romero López y de Benito Crosetti (2020). La estrategia investigativa adoptada sigue un enfoque en primera persona, como sugiere Camargo Uribe (2019). Este enfoque implica el estudio directo de un fenómeno investigativo, accedido por sus participantes, con el propósito de capturar y profundizar en los detalles más significativos.

Esto implica que el investigador se convierte en sujeto de su propia investigación, involucrándose en el proceso de recolección y análisis de datos desde su propia perspectiva y experiencia. Al adoptar esta estrategia, el investigador busca explorar y comprender sus propias experiencias en relación con el objeto de estudio, lo que puede ayudar a revelar información y perspectivas nuevas y únicas.

De igual manera, esta metodología promueve la reflexión crítica sobre el proceso de investigación y sobre la propia posición del investigador en relación con el objeto de estudio. Al involucrarse de manera personal en el proceso de investigación, el investigador puede comprender mejor las complejidades y matices del objeto de estudio, así como los efectos que su propia posición y perspectiva puedan tener en los resultados de la investigación.

El objetivo de esta investigación es presentar una actividad que permita la construcción de conjeturas y su formalización para su uso en estudios futuros o como una guía en prácticas pedagógicas.

Este trabajo presenta un nuevo resultado geométrico, el proceso de construcción de una conjetura, su prueba y su extensión. Para ello, se utilizó el DGE GeoGebra. Se vinculan como elementos guía los resultados de la investigación de Benítez Mojica y Santos-Trigo (2006), que describe una secuencia instruccional en la construcción de conjeturas geométricas mediante un DGE, en aras de brindar orientación desde la resolución de problemas.

Esta secuencia permite la identificación de invariantes y propiedades emergentes durante el proceso de configuración de las conjeturas y está estructurada en cinco etapas clave:

1. Identificación visual de la conjetura

2. Puesta a prueba de la conjetura (prueba de arrastre)

3. Construcción de una macro para la verificación de la conjetura

4. Cuantificación y verificación de propiedades para detectar patrones

5. Presentación de argumentos formales para la comprobación de la conjetura

El desarrollo de cada etapa se concretó como actividad de investigación. Se inició con la presentación de un problema y las interrogantes a su alrededor, i.e., la colinealidad de los baricentros de un triángulo. Esta conjetura surgió como resultado de la construcción de una configuración inicial durante las exploraciones propias de uno de los autores de este artículo, después de usar reflexiones axiales de los lados de un triángulo y preguntándose por las propiedades que se obtienen con los puntos notables del triángulo. Después de aplicar la secuencia instruccional mencionada anteriormente, la conjetura fue reafirmada por dos de los autores y extendida a la generalización en el contexto de un paralelogramo. Subsecuentemente, el tercer autor, con formación en matemáticas, demostró los resultados. Esta demostración fue posteriormente presentada en diversos cursos y seminarios.

Construcción de una macro

Dado un conjunto de objetos iniciales, se elaboró un conjunto de trazos geométricos hasta obtener los objetos finales. Para cada conjunto de objetos iniciales, un programa o función computacional (denominada macro-construcción) entrega un único conjunto de objetos finales. Para este caso particular, se construyó una macro con las siguientes características:

1. Objetos iniciales: el triángulo ABC y la recta m.

2. Proceso: construir los simétricos axiales de A, B y C con respecto a m. Se trazan los triángulos ABC´, ACB´ y CBA´. Se construyen los baricentros P, P´, P´´ y P´´´ de los triángulos ABC, CBA´, ACB´ y ABC´ respectivamente.

3. Objetos finales: los baricentros P, P´, P´´ y P´´´, la recta que pasa por estos baricentros y el ángulo entre la recta m y la recta que pasa por los baricentros.

En la pantalla de GeoGebra, se observó que, cada vez que se le aplica la macro al triángulo ABC y a la recta m, los objetos finales y la configuración son los siguientes:

Figura 5: Configuración de la macro-construcción

Argumentación formal

Sea ABC un triángulo y m una recta arbitraria. Sean A', B' y C' reflexiones axiales de A, B y C sobre m respectivamente. Se quiere probar que los baricentros de los triángulos ABC, A'BC, AB'C y ABC' están alineados y que la recta que los contiene es perpendicular a la recta m.

Figura 6: Ideas básicas para construir la prueba formal

Se probará, además, que la recta que contiene el baricentro del triángulo ABC y contiene al baricentro de A'BC es perpendicular a m. Lo anterior es suficiente debido a la unicidad de dicha recta perpendicular. Se podría cambiar A'BC por AB’C y ABC'.

Se denotan con P y P' los baricentros de ABC y A'BC respectivamente. Sean D y E los puntos medios de los segmentos AC y A’C respectivamente. Por la definición del punto A', se tiene que el segmento AA' es perpendicular a la recta m. Considerando el triángulo AB'C, recordando que D y E son puntos medios de AC y A'C y por el teorema de Tales, se sigue que la recta que pasa por D y E es paralela a la que pasa por A y A'. Por tanto, DE es perpendicular a m.

Figura 7: Unicidad de la recta perpendicular

Sean P y P' los baricentros de los triángulos ABC y A'BC. Por la definición del baricentro de un triángulo, se tiene que P y P' son los puntos sobre los segmentos BD y BE respectivamente. Para estos baricentros, PB y P'B miden dos tercios de los segmentos DB y BE. De nuevo, por el teorema de Tales en el triángulo DEB y la proporción entre sus lados, se sigue que la recta que pasa por P y P' es paralela a la recta que pasa por D y E. Dado que esta última es perpendicular a m, se sigue que la recta que pasa por P y P' también lo es, que es lo que se quería probar.

Figura 8: Analogía del razonamiento

Ahora bien, se puede hacer un razonamiento análogo para los baricentros de los triángulos ABC' y AB'C. De aquí se desprende que las rectas PP´, PP´´ y P P´´´ son perpendiculares a m. Sin embargo, por el punto P puede trazarse una sola recta perpendicular a m. Por lo tanto, se puede concluir que:

1. Los baricentros P, P´, P´´ y P´´´ de los cuatro triángulos, están alineados.

2. La recta que contiene los cuatro baricentros es perpendicular a la recta m.

Extensión: el caso de los cuadriláteros

El teorema de alineación de baricentros presentado anteriormente no funciona para otros puntos notables de un triángulo (incentro, circuncentro y ortocentro). Sin embargo, se puede extender este resultado a los baricentros de un cuadrilátero. Para tal fin, se puede considerar ABCD como un cuadrilátero cualquiera. Sean P, Q, R y S los puntos medios de los lados de ABCD. El cuadrilátero PQRS es un paralelogramo. El centro I₀ del cuadrilátero EFGH se toma como centro de ABCD.

Figura 9: En búsqueda de una extensión

Sean ABCD un cuadrilátero y m una recta arbitraria. Sean A', B', C' y D' reflexiones axiales de A, B, C y D sobre m. Se probará que los centros I₀, I₁, I₂, I₃ e I₄ de los cuadriláteros ABCD, A'BCD, AB'DC, ABC'D y ABCD' están alineados y que la recta que los contiene es perpendicular a la recta m.

Figura 10: Colinealidad de los baricentros

Se probará que la recta que contiene el centro I₀ del cuadrilátero inicial y el centro I₁ de A'BCD es perpendicular a m. Lo anterior es suficiente debido a la unicidad de dicha recta perpendicular, se podría cambiar A'BCD por AB’DC, ABC'D y ABCD'.

Figura 11: Perpendicularidad de las rectas

Se denotan con I₀ e I₁ los centros de ABCD y A'BCD respectivamente. Sean E, F y G los puntos medios de los segmentos AD, A'D y BC. Se traza el triángulo AA'D.

Figura 12: Ideas básicas para la prueba formal

Por la definición del punto A', se tiene que el segmento AA' es perpendicular a la recta m. Considerando el triángulo AA'D, recordando que E y F son puntos medios de A'D y A'D y por el teorema de Tales, se sigue que la recta que pasa por E y F es paralela a la que pasa por A y A'. Por tanto, EF es perpendicular a m.

Figura 13: Aplicación del teorema de Tales

Es preciso recordar que I₀ y I₁ son los centros de ABCD y A'BCD, por lo que son los puntos medios de los segmentos EG y FG respectivamente. Por el teorema de Tales, en el triángulo EFG, la recta que pasa por P y P' es paralela a la que pasa por E y F. Dado que esta última es perpendicular a m, se sigue que la recta que pasa por I₀ y I₁ también lo es, que es lo que se quería probar.

Figura 14: Paralelismo y perpendicularidad

De manera análoga, se puede demostrar que las rectas I₀I₂, I₀I₃ e I₀I₄ son perpendiculares a m. Por otra parte, por un punto exterior a una recta, se puede trazar una y solo una perpendicular. Esto implica que los puntos I0, I1, I2, I3 e I4 están alineados.

Figura 15: Analogía del razonamiento

Los hallazgos reportados en esta investigación involucran distintas miradas en cuanto a la educación matemática. Una de ellas es el vínculo entre la tecnología computacional y la resolución de problemas, la generación de conjeturas y los procesos emergentes como formas de razonamiento matemático, lo cual se detalla en el desarrollo de la actividad instrumentada (Monroy, 2023).

En el análisis de la construcción de una conjetura geométrica, y más específicamente en la exploración de la enseñanza de dicho proceso utilizando DGE, se evidencian estructuras de control que influyen de manera determinante en el pensamiento del conjeturador. Estas estructuras de control están estrechamente vinculadas a las decisiones tomadas para llevar a cabo la tarea mencionada, así como a los elementos que podrían influir en el diseño de actividades destinadas a fomentar la conjeturación. Entre estos elementos se destacan los procesos cognitivos subyacentes a la actividad geométrica, tales como la visualización, el razonamiento y la construcción. La interrelación entre estructuras de control y procesos cognitivos proporciona un marco integral para comprender y potenciar la capacidad de conjeturar en el ámbito de la geometría.

Adicionalmente, un elemento clave en la estructura de control son las operaciones cognitivas que emergen durante la actividad estudiada. A continuación, se presentan las operaciones detalladas en la exploración.

Tabla 1: Operaciones visuales dinámicas

Una operación visual es un tipo de operación cognitiva que se lleva a cabo en el proceso de comprensión y manipulación de figuras geométricas. Estas operaciones se centran en la interpretación y la modificación de las características visuales de las figuras, como lo son su forma, posición, tamaño y orientación.

Las operaciones visuales permiten a los individuos realizar transformaciones mentales en las figuras, lo que les brinda la capacidad de visualizar y comprender las relaciones espaciales y geométricas entre los elementos. Al realizar estas operaciones visuales, los individuos pueden explorar las diferentes configuraciones de las figuras, compararlas y establecer conexiones entre ellas.

Estas operaciones fueron identificadas de acuerdo con el patrón de los datos. Con el uso continuo del DGE, fueron emergiendo unas más que otras como parte del proceso de conjeturación, pero en esencia permitieron materializar lo que se deseaba hacer con la configuración inicial, realizando modificaciones que permitieran llegar a una corroboración o a un posible resultado.

Dado su carácter dinámico, estas operaciones permitieron establecer relaciones entre los elementos de la figura. Una, por ejemplo, fue la de superposición de puntos mediante el arrastre (Figura 16).

Figura 16: Superposición de puntos