Solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi para el oscilador de Caldirola-Kanai

Solution Hamilton-Jacobi equation for oscillator Caldirola-Kanai

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Abstract (es)

El método de Hamilton-Jacobi permite determinar explícitamente la función generadora a partir de la cual es posible deducir una transformación que haga soluble las ecuaciones de Hamilton. Haciendo uso del método de separación de variables se soluciona la ecuación diferencial parcial de primer orden denominada ecuación de Hamilton-Jacobi; como caso particular consideramos el oscilador de Caldirola-Kanai (CK), el cual se caracteriza en que la masa presenta una evolución temporal de forma exponencial . Demostramos que la posición del oscilador CK presenta un decaimiento exponencial en el tiempo semejante al que se obtiene en el oscilador con amortiguamiento sub-crítico, donde se refleja la disipación de la energía mecánica total. Encontramos que en el límite en que el factor de amortiguamiento  es pequeño, el comportamiento es igual al de un oscilador con movimiento armónico simple, donde los efectos de disipación de la energía son despreciables.

Abstract (en)

The method allows Hamilton-Jacobi explicitly determine the generating function from which is possible to derive a transformation that makes soluble Hamilton's equations. Using the separation of variables the partial differential equation of the first order called Hamilton-Jacobi equation is solved; as a particular case consider the oscillator Caldirola-Kanai (CK), which is characterized in that the mass presents a temporal evolution exponentially  . We demonstrate that the oscillator CK position presents an exponential decay in time similar to that obtained in the damped sub-critical oscillator, which reflects the dissipation of total mechanical energy. We found that in the limit that the damping factor  is small, the behavior is the same as an oscillator with simple harmonic motion, where the effects of energy dissipation is negligible.