Modelo de encriptación simétrica basada en atractores caóticos

DOI: http://dx.doi.org/10.14483/udistrital.jour.reving.2016.3.a08

Modelo de Encriptación Simétrica Basada en Atractores Caóticos

Symmetric Encryption Model Based on Chaotic Attractors

José Moreno
Universidad Distrital Francisco José de Caldas,Bogotá, Colombia. jdmorenop@udistrital.edu.co

Fabio Parra
Universidad Distrital Francisco José de Caldas,Bogotá, Colombia. faparraf@correo.udistrital.edu.co

Rafael Huérfano
Universidad Distrital Francisco José de Caldas,Bogotá, Colombia. rehuerfanoo@correo.udistrital.edu.co

Cesár Suarez
Universidad Distrital Francisco José de Caldas,Bogotá, Colombia. casuarezp@udistrital.edu.co

Isabel Amaya
Universidad Distrital Francisco José de Caldas,Bogotá, Colombia. iamaya@udistrital.edu.co

Recibido: 04-12-2015. Modificado: 15-05-2016. Aceptado: 28-07-2016

Resumen

Contexto: El aumento en la capacidad de procesamiento de las máquinas y los desarrollos en los algoritmos de búsqueda combinatoria disminuyen el tiempo necesario para descifrar fraudulentamente la información; por esta razón se plantea la necesidad de generar nuevas formas de codificar la información para su transmisión segura.

Método: En este artículo se presenta un modelo de encriptación simétrico extensible para comunicaciones digitales, aprovechando el caos generado por sistemas dinámicos no lineales.

Resultados: El modelo desarrollado demostró estar en la capacidad de encriptar mensajes en tiempos de sincronización, encriptación y desencriptación inferiores a 1 ms con una entropía superior a 6 usando el atractor de Rössler para su implementación.

Conclusiones: El algoritmo se presenta como una alternativa a los algoritmos tradicionales de combinatoria demostrando una mayor eficiencia en la gestión de recursos computacionales y plantea las bases para su continuar con su estudio en la comunidad académica interesada, debido a la variedad de los sistemas dinámicos no lineales.

Palabras claves: Atractores caóticos, caos, comunicaciones digitales, encriptación, seguridad, sincronización.

Idioma: Español

Abstract

Context: The increase in the processing capacity of machines and developments in combinatorial search algorithms reduces the time required to decipher the information fraudulently. Bear in mind this, there is a need to generate new ways of encoding information for secure transmission.

Method: In this paper a symmetrical and extensible model for digital communications encryption is presented, taking advantage of the chaos generated by nonlinear dynamic systems.

Results: The developed model proved to encrypt messages in time synchronization, encryption and decryption less than 1 ms with an entropy higher than 6 using the Rössler attractor for its implementation.

Conclusions: The algorithm is presented as an alternative to traditional algorithms demonstrating greater efficiency in the management of computing resources and raises the groundwork for continuing their study on the interested academic community due to the variety of dynamical systems nonlinear.

Keywords: Chaos, chaotic attractors, digital communications, encryption, security, synchronization.

1. Introducción

Los sistemas dinámicos estudian el comportamiento de fenómenos físicos en el tiempo, los cuales se modelan matemáticamente por medio de ecuaciones diferenciales o en diferencias finitas, según se trate de fenómenos de tipo continuo o discreto, respectivamente. El propósito es, antes que hallar la solución analítica, analizar el comportamiento del sistema a largo plazo y determinar si al realizar pequeños cambios en las condiciones iniciales del modelo, se generan cambios trascendentales con el paso del tiempo; en caso afirmativo, se trata de una situación en la que aparece el caos, que está ligado a fenómenos de tipo no lineal, en los cuales el comportamiento es impredecible a largo plazo. En el año 1963, el meteorólogo Edward Lorenz estudió el comportamiento de la atmósfera y quiso proponer un modelo matemático para realizar predicciones del clima, formuló lo que en la actualidad se conoce como ecuaciones de Lorenz, pero, curiosamente, por medio de simulaciones computacionales se dio cuenta de que, ante pequeñas perturbaciones de los datos iniciales, el sistema cambiaba su comportamiento, lo cual impedía hacer predicciones.

Por otra parte, la criptografía es una disciplina muy antigua y tiene como fin proteger información confidencial, ha sido utilizada desde su origen en entornos políticos, militares, religiosos, entre otros. El intercambio de información juega un papel trascendental en la actualidad y gracias al progreso de la tecnología existen prometedores resultados con respecto a la evolución y mejora de la seguridad en su transmisión. Según el número de claves utilizadas, los sistemas criptográficos se clasifican en simétricos y asimeétricos, en los sistemas simétricos el emisor y el receptor utilizan la misma clave y en los sistemas asimétricos el emisor y el receptor utilizan claves distintas.

Los algoritmos convencionales de encriptación se basan en factorización de enteros y en el problema de logaritmo discreto, pero continuamente se están desarrollando nuevos algoritmos, como los basados en los principios de la mecánica cuántica, los algoritmos que implementan autómatas celulares y los que utilizan la teoría del caos.

Los autómatas celulares corresponden a modelos matemáticos idealizados de sistemas físicos en los cuales el espacio y el tiempo se consideran discretos y evolucionan mediante reglas de iteración de tipo local. Este principio es aprovechado para el enmascaramiento de información, un mensaje es enmarcado dentro de una vecindad y esta lo encripta a medida que evoluciona. En [1] se muestra una aplicación de autómatas celulares para la encriptación de datos médicos enviados a través de internet. El problema que presenta este método corresponde a la complejidad de las reglas utilizadas, ya que a mayor complejidad no es posible predecir el comportamiento futuro del sistema de encriptación; sin embargo, si las reglas no son lo suficientemente complejas el sistema de encriptación se vuelve vulnerable.

La criptografía cuántica fue propuesta en 1984 por Brennet y Brassard y está basada en el teorema de la no clonación de la mecánica cuántica. Aunque los sistemas de criptografía cuántica no son de fácil acceso por la construcción del ordenador cuántico, se advierte que estos serían una amenaza a los sistemas de criptografía convencional debido a que se podría factorizar a una velocidad superior a la de los ordenadores actuales [2].

Este artículo se centra en los algoritmos basados en caos, estos aparecieron en 1990 como una aplicación novedosa de los sistemas dinámicos no lineales y en las últimas décadas han tomado mucha fuerza en el diseño de algoritmos de encriptación [3] - [15], lo que ha generado una nueva línea de investigación denominada criptografía caótica.

El caos ha sido utilizado para diseñar comunicaciones seguras de forma análoga y digital, ya que existen propiedades similares, como por ejemplo, la sensibilidad de los sistemas caóticos a las condiciones iniciales se asemeja a la propiedad de difusión en los sistemas de criptografía. La baja sensibilidad a la clave secreta y la posibilidad latente de ataques basados en la estimación de los parámetros de encriptación son considerados los dos mayores problemas en casi todos los sistemas de comunicación análoga basados en caos, cuya seguridad se fundamenta en la teoría de sincronizació de los atractores caóticos propuesta por Pecora y Carroll. [3], [4].

En [5] el autor describe las fortalezas que aportan los sistemas caóticos en términos de la seguridad de la información, aunque advierte que los algoritmos basados en caos que incluyen los principios de difusión y confusión, no se pueden comparar con los algoritmos criptográficos tradicionales, debido a que usualmente presentan debilidades en términos de seguridad y rapidez de convergencia. Además, hace analogías entre los fundamentos de los sistemas dinámicos y los de la criptografía; la interrelación básicamente la plantea bajo la premisa que los algoritmos de encriptación de bloques pueden ser reescritos como sistemas dinámicos en tiempo discreto, donde la condición inicial es el texto plano que se va a encriptar y el estado final es el texto encriptado.

Por otra parte, el autor resalta que los parámetros de la función caótica pueden representar la clave del algoritmo de encriptación, y que el sistema debe satisfacer la propiedad de mezcla la cual permite generar el princi- pio de difusión, que significa esparcir un dígito del texto original en muchos dígitos del texto cifrado. También, señala que el futuro de la criptografía basada en caos depende de si la solución del problema es computacionalmente impredecible, es decir, que no pueda ser resuelto por máquinas de tiempo polinómico probabilístico.

En el año 1993 Kevin Cuomo y Alan Oppenhein, utilizaron la propiedad de sincronización para ocultar comunicaciones análogas implementando las ecuaciones de Lorenz en los circuitos electrónicos de emisión y recepción. Ellos propusieron dos estrategias para el encriptamiento de la información, la primera adicionando al mensaje el enmascaramiento caótico de la señal común en el emisor y luego restándolo en el receptor, la segunda consistió en utilizar la modulación de las señales caóticas para adicionar el mensaje en el circuito emisor y luego hacer la detección del error en el circuito receptor [6].

En 1996 en [7] los autores propusieron un método de sincronización robusta, basado en un sistema de realimentación, para esquemas de comunicación caótica. Este método permite que, en ausencia de ruido, múltiples señales en un solo canal logren una perfecta sincronización de los receptores con sus respectivos transmisores.

M.S. Azzaz, C. Tankougast, S. Sadoudi y Adandach, de la Universidad Paul Verlaine de Metz en Francia, realizaron la implementación de una llave aleatoria, para encriptar y desencriptar información , basada en el atractor caótico de Lorenz, sobre compuertas programables FPGA (Field Programing Gates Array), con lo cual lograron, según lo indican, una arquitectura de hardware compacta y con alta velocidad de desempeño. La arquitectura se diseño con base en la solución numérica de las ecuaciones de Lorenz por el método Runge Kutta 4 [8].

En el año 2011, se realizó una tesis de maestría, en la Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá, alusiva al enmascaramiento de información mediante sistemas caóticos sincronizados, en la que se aplicó la propiedad de sincronismo de algunos sistemas caóticos para simular numéricamente el enmascaramiento de información, la transmisión y recuperación de ésta, utilizando la técnica de enmascaramiento Chaotic Shift Keying (CSK) con los modelos de Lorenz, Rössler y Sprott [9].

En [10], se propone un nuevo enfoque para la encriptación de imágenes en tiempo real utilizando dos funciones logísticas y empleando una clave de 80 bits, la llave secreta es dinámica y se cambia cada 16 pixeles. Aprovechando las propiedades caóticas de las funciones logísticas demuestran la alta sensibilidad de la clave secreta.

En [11] se presenta un algoritmo para encriptar texto plano por medio de la función logística, pero se genera un sistema de encriptación débil y lento ya que el mensaje es encriptado con el número entero de iteraciones realizadas por esta función.

En [12], se describe una aplicación de un algoritmo de encriptación caótico para cifrar plantillas de huella dactilar con base en la generación de sucesiones caóticas utilizando la función logística y un proceso de permutación y difusión para evitar el robo de identidad. La encriptación basada en caos ha demostrado ser mejor debido a las propiedades inherentes de ergodicidad, sensibilidad, parámetros de control, pseudo-aleatoriedad y mezcla, todos estos útiles para mejorar la seguridad de la transmisión de la información.

En [13] se propone un algoritmo de encriptación de imágenes utilizando la función lineal a trozos conocida en la literatura de los sistemas dinámicos como función tienda. El valor de los pixeles de la imagen plana y la clave inicial son calculados mediante un algoritmo de cuantificación dando como resultado un valor decimal, el cual se utiliza como valor inicial de la función tienda. El algoritmo de cuantificación está basado en operaciones de multiplicación, por lo que pequeños cambios en la imagen plana generan una alta sensibilidad en los resultados de cuantificación. Con el decimal obtenido en el proceso de cuantificación se generan dos sucesiones ergódicas, usadas para el proceso de permutación, se aplica también difusión, en el cual los valores de los pixeles son modificados basados en la división y operación módulo utilizando ocho valores caóticos especiales. Los autores muestran que el método de encriptación es robusto y seguro, por lo tanto, es apropiado para utilizar como herramienta de cifrado de imágenes.

En [14] se desarrolla un modelo factible de encriptación caótico utilizando las propiedades que presentan tres funciones generadoras de caos, la función logística, la función de Pinchers y Sinecircle, los autores logran tiempos de encriptación por debajo de 1.5 milésimas de segundo, para desencriptar un tiempo inferior a 61.3 milésimas de segundo y una entropía superior a 7.4, que garantiza un alto nivel de eficiencia y seguridad.

En la literatura existen desarrollos de algoritmos de encriptación basados en caos utilizando un único sistema dinámico caótico, en este artículo se desarrolla un algoritmo de encriptación genérico, es decir, un algoritmo extensible a cualquier sistema caótico sincronizable como lo plantea Pecora & Caroll en [3]. Una vez sincronizados ambos subsistemas, cada mensaje se encripta superponiendo una de las componentes del atractor con la representación en ASCII del mensaje. Como caso de estudio, se implementó el algoritmo desarrollado con los sistemas caóticos de Lorenz y Rössler.

2. Marco Teórico

2.1. Generalidades de los sistemas dinámicos caóticos

Un sistema dinámico es una representación matemática de un sistema físico, que busca predecir su comportamiento a medida que transcurre el tiempo; la representación matemática involucra ecuaciones diferenciales o ecuaciones en diferencias finitas, según sea de tipo continuo o discreto respectivamente. Cuando no se satisface el principio de superposición se está ante la presencia de un sistema no lineal para lo cual se hace un estudio fundamentalmente de tipo cualitativo para caracterizar su dinámica en el tiempo, la no linealidad abre la posibilidad de que se genere caos.

En este artículo se entiende que el caos ocurre cuando el sistema presenta un comportamiento aperiódico a largo plazo, es decir, existen trayectorias que con el paso del tiempo no convergen a órbitas periódicas, cuasi periódicas, o puntos fijos y exhibe una dependencia sensible a pequeñas variaciones en las condiciones iniciales; lo que significa que dos trayectorias cercanas, a medida que transcurre el tiempo se separan de forma exponencial. Los sistemas dinámicos caóticos sincronizables son caracterizados por los exponentes de Lyapunov negativos, una entropía y complejidad algorítmica positiva, y tienen otras propiedades tales como mezcla y preservación de medida en las transformaciones [5].

Lorenz formuló un modelo tridimensional para realizar predicciones climatológicas y notó que, si el modelo se alimentaba de la observación anterior con cifras redondeadas, en lugar de las cifras reales, este se comportaba inicialmente de la misma forma, pero rápidamente comenzaban a trazarse trayectorias totalmente distintas a las seguidas cuando las cifras eran las reales, lo cual generaba predicciones erróneas en las condiciones climatológicas [15].

El modelo de Lorenz se describe en la ecuación (1).

Donde cada punto (x; y; z) representa un estado de la atmósfera y, a,b y c son parámetros. Para analizar su evolución se debe seguir un campo de vectores, dicho sistema presenta comportamiento caótico para varios valores de los parámetros y originó todo un desarrollo en la teoría de los sistemas dinámicos caóticos. La Figura 1, muestra una trayectoria descrita por el atractor de Lorenz.

La sincronización de sistemas se ha utilizado para encriptar información, gracias a la impredictibilidad en el comportamiento de los sistemas caóticos. Para realizar la sincronización se requieren dos sistemas, uno llamado maestro, que es el sistema caótico original, y el otro denominado esclavo, el cual se construye de subsistemas obtenidos a partir del sistema original y seleccionando la variable que se desee como enlace, llamada variable sincronizante o conductora. La Figura 2 muestra el proceso de sincronización, siendo la trayectoria del subsistema esclavo la línea negra y la del maestro la línea azul.

Particularmente, en el caso del atractor de Lorenz, Pécora formuló 3 formas de dividir el sistema de acuerdo con la componente x, y o z que se escoja como maestra y las dos restantes como esclavos respectivamente. Por cada una de estas posibles divisiones se debe calcular los sub exponentes de Lyapunov como se muestra en la Tabla I. El sistema de Lorenz presenta exponentes de Lyapunov negativos, como lo calculó Pécora & Carroll, cuando la componte x ó y se seleccionan como maestros.

El receptor toma el mensaje, lo representa en ASCII y resta cada digito con una de las componentes del atractor obtenidas en la misma unidad de tiempo t_i. La unidad de tiempo va aumentando a medida que se decodifica cada caracter. El mensaje desencriptado se convierte a caracteres utilizando la tabla ASCII. En la Figura 3, se esquematiza el proceso anterior, los cuadrados amarillos representan el mensaje en código ASCII y se muestra la superposición del caos con el mensaje.

1. Se divide el sistema en dos subsistemas maestro - esclavo, en este caso se utilizó como maestro debido a que sus exponentes de Lyapunov son los más negativos, recordando que entre más negativos sean los exponentes de Lyapunov, más rápida será la convergencia.
2. Se inicializan los subsistemas con condiciones iniciales aleatorias que esén cercanas a la región del atractor.
3. Se sincronizan los atractores enviando la componente maestra hacia el esclavo. Se generan los 700 primeros valores del atractor maestro utilizando Runge Kutta 4 con un salto h = 0;01(centésimas de segundo) y se envían los resultados de la componente como clave pública K hacia el atractor esclavo. Este proceso se representa en la ecuación 2.



Siendo y_i el número obtenido en la iteración , en el instante de tiempo t_i definido como se muestra en 3



4. Se determina la longitud del mensaje, que corresponde al número n de caracteres que éste posee. Por ejemplo, el mensaje "Hola" tiene cuatro caracteres, por lo tanto n = 4.
5. Como se muestra en la ecuación 4, se convierte cada dígito del mensaje m en su representación numérica según la tabla ASCII.



Tomando el ejemplo anterior, el mensaje "Hola" representado en ASCII corresponde a m = [72; 111; 108; 97].

6. Se calcula la salida del atractor para n iteraciones. Utilizando Runge Kutta 4 con un salto h = 0;1(décimas de segundo) se generan n valores del atractor representados como se muestra en (5).



Donde e_i corresponde a la salida del atractor en valor absoluto, aproximada a un dígito y multiplicada por 10. En un instante de tiempo t_j definido en (6) .



7. Se debe actualizar t_i a t_j , debido a que cada vez que se codifica un mensaje, existe un corrimiento de n * h unidades de tiempo, con el fin de no perder la sincronía entre los subsistemas maestro y esclavo.
8. Se suma cada salida del vector e con los caracteres del mensaje m representados en la tabla ASCII, para superponer el mensaje con el caos generado por el atractor obteniendo el mensaje encriptado m_e, como se muestra en (7).



9. Se convierte el mensaje codificado m_e en caracteres ASCII.

Para el proceso de desencriptación se generan los valores obtenidos desde el emisor en el receptor tomando el mismo instante t_j , como la longitud del mensaje encriptado es la misma que la del mensaje original, basta con repetir los pasos 4, 5, 6 y 7 en el sistema esclavo. Finalmente, el mensaje desencriptado m_d se calcula utilizando la fórmula mostrada en (8).

Aunque el algoritmo de encriptación descrito anteriormente utiliza el atractor de Lorenz, conviene precisar que este algoritmo puede extenderse reemplazando el sistema de Lorenz por otro sistema dinámico caótico que cumpla las condiciones descritas anteriormente; particularmente en la sección 4 se ejemplifica con el atractor de Rössler.

4. Implementación del algoritmo

Con el propósito de mostrar la validez y viabilidad del algoritmo propuesto, se realizaron pruebas cifrando un texto utilizando los atractores de Rössler y Lorenz en el lenguaje de programación JavaScript 1.8.

La Tabla II muestra el resumen del proceso de encriptación y desencriptación para un mensaje especifico usando el atractor de Lorenz como caso de prueba para el algoritmo desarrollado. Debido a que las condiciones iniciales son aleatorias en cada ejecución y al desplazamiento en el tiempo cada vez que se codifica un mensaje, se genera una codificación diferente para un mismo mensaje en instantes de tiempo diferente. Si se hace una segunda ejecución, con el mismo atractor y el mismo mensaje se genera una nueva codificación.

En la Tabla III, se muestra el mismo texto, pero encriptándolo mediante el atractor de Rössler, siguiendo el algoritmo propuesto.

Finalmente, para la medición de la entropía se utilizó la fórmula de Shannon mostrada en la ecuación (9).

Donde p_i denota la probabilidad de obtener el caracter i del mensaje codificado y N la longitud del mensaje. A medida que el valor de la entropía aumente, mayor va a ser la fiabilidad del método de encriptación.

En la Tabla IV se sintetizan los resultados de las métricas tomadas sobre los atractores extraños. Se evidencia que los tiempos de sincronización, encriptación y desencriptación están por debajo de 1 milisegundo (ms), presentando un mejor desempeño para el atractor de Lorenz, sin embargo la entropía tiene un mejor desempeño con el atractor de Rössler.

Debido a la propiedad de alta sensibilidad que tienen los sistemas caóticos y la imposibilidad de sincronización cuando no se envían los resultados de las trayectorias del atractor maestro, un solo cambio en la clave pública K impediría la sincronización del sistema esclavo y su posterior desencriptación del mensaje. En la Figura 4 se muestra un intento fallido de desencriptación al sumar 0.1 a la salida del atractor de Lorenz en K₇₀₀.