Instrumento para potenciar nociones intuitivas del cálculo de volúmenes desde la perspectiva de los indivisibles de Cavalieri

Resumo (es)

La enseñanza sistemática y teórica que se ha dado del cálculo en la educación básica y media, responde principalmente al uso y memorización de fórmulas matemáticas totalmente formales, inconexas de la realidad y faltantes de una significativa comprensión, ante esta situación, el presente artículo centra su interés en diseñar un Instrumento manipulativo tangible bajo la perspectiva histórica de Cavalieri, que promueva actividades matemáticas e ideas intuitivas hacia procesos de aprendizaje significativo de la integral respecto al cálculo y comparación de volúmenes a partir de "indivisibles"; caracterizando e interpretando los procesos intuitivos en la enseñanza de la integral, así como las actividades matemáticas emergentes. Desde una metodología cualitativa e interpretativa, se aplicó el recurso sobre un grupo de estudiantes de grado once, mediados por diferentes actividades y preguntas orientadoras a lo largo del estudio, que generaron discusión y evidencias de nociones primarias de: límite, infinito (potencial y actual) e infinitesimal vinculadas a la caracterización epistémica de la integral, al dejarse guiar por la percepción y manipulación, asimismo, se expresaron algunas generalizaciones  en cuanto al cálculo de volúmenes. Finalmente, se considera que fomentar el uso no solo del recurso diseñado, sino de cualquier tipo de instrumento cuya construcción y manipulación involucren una reflexión histórico epistémica consciente o inconsciente, genera en los sujetos perspectivas inicialmente intuitivas que potencializan los significados asociados a la integral para el cálculo de volúmenes, dotando igualmente de diferentes sistemas de representación los múltiples conceptos matemáticos puestos en juego para dar respuesta a las preguntas orientadoras durante el desarrollo de la actividad propuesta.

Resumo (en)

The systematic and theoretical teaching of calculus in basic and secondary education, mainly responds to the use and memorization of totally formal mathematical formulas, unconnected to reality and lacking of a significant understanding, in this situation, this article focuses its interest in designing a tangible manipulative instrument under the historical perspective of Cavalieri, which promotes mathematical activities and intuitive ideas towards significant learning processes of the integral with respect to the calculation and comparison of volumes from "indivisibles"; characterizing and interpreting the intuitive processes in the teaching of the integral, as well as the emerging mathematical activities. From a qualitative and interpretative methodology, the resource was applied on a group of eleventh grade students, mediated by different activities and guiding questions throughout the study, which generated discussion and evidence of primary notions of: limit, infinity (potential and actual) and infinitesimal linked to the epistemic characterization of the integral, by being guided by perception and manipulation, likewise, some generalizations were expressed regarding the calculation of volumes. Finally, it is considered that encouraging the use not only of the designed resource, but of any type of instrument whose construction and manipulation involve a conscious or unconscious epistemic historical reflection, generates in the subjects initially intuitive perspectives that potentiate the meanings associated with the integral for the calculation of volumes, also providing different representation systems for the multiple mathematical concepts put into play to answer the guiding questions during the development of the proposed activity.

Resumo (pt)

O ensino sistemático e teórico do cálculo no ensino básico e secundário, responde principalmente à utilização e memorização de fórmulas matemáticas totalmente formais, alheias à realidade e sem uma compreensão significativa, nesta situação, este artigo centra o seu interesse em conceber um instrumento manipulador tangível sob a perspectiva histórica de Cavalieri, que promove actividades matemáticas e ideias intuitivas para processos de aprendizagem significativos do integral no que diz respeito ao cálculo e comparação de volumes de "indivisíveis"; caracterizando e interpretando os processos intuitivos no ensino do integral, bem como as actividades matemáticas emergentes. A partir de uma metodologia qualitativa e interpretativa, o recurso foi aplicado num grupo de alunos do décimo primeiro ano, mediado por diferentes actividades e perguntas orientadoras ao longo do estudo, o que gerou discussão e evidência de noções primárias de: limite, infinito (potencial e actual) e infinitesimal ligadas à caracterização epistémica do integral, ao ser orientado pela percepção e manipulação, foram também expressas algumas generalizações relativamente ao cálculo dos volumes. Finalmente, considera-se que o incentivo à utilização não só do recurso concebido, mas de qualquer tipo de instrumento cuja construção e manipulação envolva uma reflexão epistémica histórica consciente ou inconsciente, gera nos sujeitos perspectivas inicialmente intuitivas que potenciam os significados associados ao integral para o cálculo dos volumes, proporcionando também diferentes sistemas de representação dos múltiplos conceitos matemáticos postos em jogo para responder às perguntas orientadoras durante o desenvolvimento da actividade proposta.